Identidades Trigonométricas

1.- Relación Seno Coseno

Cos2 a + Sen2 a = 1

2.- Relación Secante Tangente

Sec2 a = 1+ Tag2 a

3.- Relación Cosecante Cotangente

Cosec2 a = 1 + Cotang2 a

Cosec a = 1 / Sen a

Sec a = 1 / Cos a

Cotan a = 1 / Tan a = Cos a / Sen a

Funciones Trigonométricas en el Circulo Unitario

La circunferencia trigonométrica, unitaria o "circulo unitario" es una circunferencia de radio 1, normalmente con su centro en el origen (0,0) se un sistema de coordenadas cartesianas.
Dicha circunferencia se utiliza para poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos. auxiliares.

Hay muchas formas de definir localizaciones en el circulo unitario. Vamos a comenzar definiendo una localización (x,y) en el circulo por el ángulo formado entre (x,y) y (0,0) y (1,0).

La localización (0,1)

se asocia con 90° 

Alfabeto Griego

Ángulos en la Circunferencia

Ángulo Central:- Su vértice se ubica en el centro, y sus lados son dos radios.


Ángulo Inscrito:- Tiene su vértice esta en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. Mide la mitad del arco que abarca.



Ángulo Semi-Inscrito:- El vértice sel ángulo semi-inscrito esta en la circunferencia, un lado secante y otro tangente a ella. Mide la mitad del arco que abarca.




Angulo Interior:- Su vertice es inferior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mida la mitad de las sumas de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.


Ángulo Exterior:- Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son:
o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangente a ella.
 

Rectas en la Circunferencia

CIRCUNFERENCIA:- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto citado en el centro.

 RADIO:- Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. El radio se nombra con la letra "r". La medida del radio es constante.

CUERDA:- Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

DIÁMETRO:- Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Es la cuerda de mayor medida y se nombra con la letra "d". Ademas el diamtre siempre es el doble del radio. d= 2r r= d/2


TANGENTE:- Es la recta que intercepta en un solo punto a la circunferencia. Es perpendicular al centro de la circunferencia.

SECANTE:- Es la recta intersecta en dos puntos a la circunferencia.

ARCO:- Es una parte de la ciercunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Puntos proporcionales

Observa que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t.

Considera los segmentos AB y CD de la recta r. Se observa que CD = 2 · AB.

¿Qué relación hay entre los segmentos correspondientes A’B’ y C’D’?

Observa que C’D’ es también doble de A’B’:

            C’D’ = 2 · A’B’.

Observa también que con estos segmentos se puede escribir esta proporción:

CD / C’D’ = (2 · AB) / (2 · A’B’) = A’B’ / AB.

Esta proporcionalidad existente entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t:
AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'=CD / C'D'=k.

           

            Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.

Áreas y perímetros de figuras geométricas.

Triángulo:
h=Altura b=Base
El triángulo es un polígono formado por 3 lados y tres ángulos, cumpliendo la propiedad de que la suma de todos sus ángulos siempre es 180°.

Área = Base.Altura /2
Perímetro = Lado + lado + lado


Rectángulo:
El rectángulo es un polígono compuesto por dos pares de lados iguales que forman entre si ángulos de 90°.
Área: Base.Altura
Perímetro: lados.2 + lado.2


Cuadrado:
El cuadrado es un polígono formado por cuatro lados de igual longitud que forman entre si ángulos de 90°
Área: (lado.lado)
Perímetro: Lado + lado + lado + lado = 4x lado


Trapecio:
El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90°.
Área: [(base mayor + base menor)altura] / 2
Perímetro: Suma de todos sus lados.


Rombo:
El rombo es un polígono de 4 lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90°
Área: (diagonal mayor.diagonal menor) / 2
Perímetro: 4xlado.

Romboide:
Es un polígono de 4 lados los cuales 2 son distinto y los otros 2 también, y todos su ángulos son diferentes a 90°
Área: 2.(altura+base)
Perímetro: 2 x lado + 2 x lado


Pentágono:
El pentágono regular es un polígono de 5 lados iguales y 5 ángulos iguales.
Área: (Perímetro.Apotema) / 2
Perímetro: Suma de todos sus lados

Hexágono:
El hexágono es un polígono de seis lados y seis ángulos iguales.
los ángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equilateros.
Área: (Perímetro.Apotema) / 2
Perímetro: Suma de todos sus lados

NOTA: Y ASÍ CON TODOS LOS POLÍGONOS REGULARES.

Teoremas de Polígonos

Teorema 1:
La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde "n" es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.
Ejemplo:

• Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular.

Suma de ángulos interiores = 180° (n-2)

180° (5-2)

180°(3)

= 540°

Teorema 2:

Si se quiere calcular en el ángulo interior de algún polígono, este debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre "n".

Ángulo interior = 180(n-2) / n

Ejemplo:

• Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular.

Angulo interior = 180(n-2) / n = 180 (15-2) / 15 = 180 (13) / 15 = 2340 /  15 = 156°

Teorema 3:

La suma de los ángulo exteriores de un polígono es de 360°.

Ángulo exterior = 360° / n

Ejemplo:

• Calcular el ángulo exterior de un triángulo.

Ángulo exterior = 360° / n = 360° / 3 = 120

Teorema 4:

El número de diagonales que pueden trazarse los vértices de un polígono es igual al producto de "n" (n-3) y todo ello dividido entre 2.

# de / = n (n-3) / 2.

Ejemplo:

•  Calcular el número de diagonales de un pentágono regular.

# de / = n (n-3) / 2 = 5 (5-3) / 2 = 5 (2) / 2 = 10 / 2 = 5 Diagonales.

Polígonos

Polígono:- Es una porción de plano limitada por una curva cerrada llamada "linea poligonal".

Polígono Convexo:- Aquellos que tienen su linea poligonal respecto a una curva exterior.
Polígono Cóncavo:- Esta formado por una linea cóncava que tiende a una curvatura hacia adentro.



Polígono regular:- Es el que tiene todos sus lados y todos sus angulo iguales, es equilatero y es equiángulo.




Diagonal:- Segmento determinado por dos vértices no consecutivas.



Centro:- Se refiere al punto central de las circunferencias circunscritas e inscritas en polígonos regulares.



Radio:- Segmento que une el centro del polígono con vértice, es también el radio de la circunferencia circunscrita.



Apotema:- Segmento que une al centro del polígono perpendicularmente con cualquier lado, es también el radio de la circunferencia inscrita.



Ángulo central:- Es el ángulo formado por los radios correspondientes (dos vértices consecutivos).

Teorema de Pitagoras

Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°), y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos.
El lado más largo del triángulo se llama hipotenusa, así que la definición normal es:
-En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros 2 lados.

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

   a² + b² = c^2
Ejemplo:


Veamos si las áreas son la misma:
3² + 4² = 5²

Calculando obtenemos:
9 + 16 = 25

¡SI, FUNCIONA!

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes a la otra.

                      

Teorema de Thales en un triángulo.

Dado un triangulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B´C´, a uno de los lados del triángulo AB´C´, cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

                   

Sistema sexagesimal.

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad en la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

• 1 Hora ------> 60 Minutos ------> 60 Segundos
• 1° ------> 60´ ------> 60".

Congruencia de Triángulos.

Definición:
Se dice que un ABC es congruente con otro DEF si sus lados respectivamente son iguales y sus ángulos respectivamente lo son.
Para expresar un lenguaje matemático que los triángulos de abajo son congruentes, se usa la siguiente simbologia:

Al observarse los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes que son:

Demostraciones.

Principio 1:
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.


Principio 2:
Los ángulos correspondientes en rectas paralelas son congruentes.


Principio 3:
Los ángulos alternos internos son congruentes.

Teorema de ángulos en el triángulo

Hay 2 Tipos de ángulos en los triángulos y son internos y externo.

Teorema para ángulos internos de un triangulo:- Los ángulos internos de todo triángulo suman 180°.

 60°+90°+30°= 180°

70°+80°+30°= 180°

Teorema para ángulos externos de un triángulo:- Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.